През 1958 година завършва архитектура в София и работи 3 години по специалността си. Междувременно се опитва да стане певец – професия, която го привлича по-силно с всеки изминал ден. „По онова време вратите на Операта бяха отворени за други лица и макар че печелих първите награди на редица конкурси, от Концертна дирекция не ме пускаха да взема участие на международните оперни фестивали независимо от предложенията, които получавах“ – спомня си Антон Дяков (9 декември 1934 – 24 юни 2016) за времето, когато вече се замисля да напусне страната. „Баща ми винаги казваше, че в изкуството нямаш възможност да бъдеш посредствен – или трябва да бъдеш много добър, или да вземеш друг занаят.“ През 1961 г. Дяков заминава за Рим с огромното желание да бъде чут като изпълнител. Италианските педагози казват, че този глас трябва да бъде обработен за големите оперни театри. За да плаща уроците си по пеене, проектира сгради в Рим. След прослушване, осигурено от Борис Христов, Дяков е приет директно в трети курс на Консерваторията „Санта Чечилия“, а непосредствено след това и в студиото на Римската опера като единствен чужденец. Там подготвя всички басови партии с вокалния педагог маестро Луиджи Ричи за сезоните 1961/62 и 1962/63.

„Спомням си, че учех ролята на Пимен в операта „Борис Годунов“ от Мусоргски на италиански. Неочаквано се разболя басът Антонио Касинели и ме извикаха да го заместя в „Аида“. Така през 1962 г. Антон Дяков дебютира в ролята на Фараона в амфитеатъра на Баните на Каракала. Сценичното му превъплъщение е впечатляващо. Веднага е поканен да участва в записите на операта „Борис Годунов“ за френската звукозаписна компания „Пате Маркони“. След това сключва договори с Метрополитън опера и операта на Франкфурт. При едно от пътуванията си от Ню Йорк до Германия получава ангажимент в Бремен, където има щастието да работи с режисьора Гьоц Фридрих. „С този талантлив педагог работих осем опери, които бяха моята голяма певческа и актьорска школа. Винаги много съм държал на ролите, които позволяват на един певец да се покаже актьорски. Времето, в което се пееше само на рампата на сцената, вече е отдавна отминало. Днес се искат лица, актьори, които да убедят публиката, която вече е свикнала от телевизия и филми да вижда актьори, в силата на тяхното превъплъщение. Научих много от съвместната ни работа“ – споделя Дяков за този важен период от творческото си развитие. По това време започват гостуванията в Торино, Парма, Лисабон, Мадрид и много други. Във Виенската фолксопера пее Каспар във „Вълшебният стрелец“, Зарастро във „Вълшебната флейта“ и  Раймондо в „Лучия ди Ламермур“. Там разбира, че австрийският диригент Харберт фон Караян го търси навсякъде за предстоящия спектакъл на операта „Борис Годунов“ в Залцбург.

В Швейцария се установява през 1968 година и става първи бас на операта в Базел, на чиято сцена пее повече от 30 години. Антон Дяков прави над 1600 записи, които в онези години звучат постоянно по френските, австрийските, италиански и немските радиостанции. Записва почти всички големи цикли на Мусоргски, Рахманинов, Чайковски, Танеев и др. Част от ролите му се съхраняват в архива на Виенската фонотека. Един от малкото български записи, където може да се чуе гласът Антон Дяков, е от преди заминаването му в Италия, което го прави изключително ценен. Той се пази в Златния фонд на Българското национално радио – пиесата „Оратория на нашето време“ по музика на Любомир Пипков в изпълнение на Симфоничния оркестър на БНР с диригент Васил Стефанов, детски хор „Бодра смяна“ и филхармоничен хор „Светослав Обретенов“:

Оперният певец е автор на серия от 25 предавания по Радио Берн, посветени на славянската вокална традиция – църковна, народна, кантатно-ораториална и оперна музика, портрети на певци и песенното наследство на всички южнославянски и източнославянски страни. За своя принос за изкуството на Европа Антон Дяков получава титлата „доктор хонорис кауза“ от Университета в Кремона и Университета в Маями, а през 2005 година България го награждава с орден „Св. Св. Кирил и Методий“ първа степен. Басът пее под диригенството на най-големите световни имена. „Срещата с Караян и Игор Маркевич остават за мен безценни – диригенти, които излъчваха такъв магнетизъм и които даваха възможност на гласа да се прояви в най-блестящата си форма.“ В своя репертоар Антон Дяков има повече от 97 басови партии, изпълнени на най-големите фестивални сцени в света. След 30 години бляскава кариера той получава покана да се завърне на родна земя. В първото интервю за Националното радио през 1992 г. световноизвестният бас споделя: „Аз имам желание не толкова да пея в България, колкото да я видя и изживея.“