Роден на 3 юни 1929 г. в София. По стар стил на тази дата се е чествал църковният празник „Св. Св. Константин и Елена“. Ако бил момиче щял да се казва Елена, та нали си идва с името, но се родил…Коста. Попът обаче бил пиян и сбъркал рождената дата на актьора. От тогава той се води роден на 10 юни и  винаги празнува рождения си ден на тази дата.
„От малък безкрайно обичах филмите и театралните представления. Бях луд по приказките, които четеше Никола Балабанов по радиото. Може да се каже, че бях инвентар на кино „Красно село“. Нямаше филм, който да не съм гледал. След всяка прожекция си представях, че съм главният герой и продължавах да играя по улиците. Прибирах се в къщи и се правех пред нашите все едно съм в ресторант. Слагах си чиния. В нея няма нищо, но аз си представям вилици, лъжици, пиано…“, разказва детските си спомени Коста Цонев.
Седемгодишен започва „играта на театър“ в дворчето в Красно село – „поставя“ приказката за „Снежанка и седемте джуджета“ и играе три роли – огледалото, ловеца и принца. И както става често в живота, детската мечта се превръща в истина.
Завършва Висшия институт за театрално изкуство през 1952 г. в класа на проф. Стефан Сърчаджиев. Режисьорът Борис Бабочкин го открива като актьор в последната година от следването му.
Обича спорта. Според Коста Цонев, за да бъде актьорът добър, неговото тяло трябва да му служи като акордиран инструмент. С пиесата „Каменният гост“ на Пушкин в ролята на Дон Жуан Цонев се заявява като дарование в българския театър. Превъплъщенията му на сцените на Младежкия театър и театър „София“ са  много и различни. В театралната история остава с ролите Ричард  в „Ричард III“, Жак в „Както ви се харесва”, Тибалт  в „Ромео и Жулиета“ от Уилям Шекспир, Меки Ножа в „Опера за три гроша“ от Бертолд Брехт, Крал Драгобер в „Кралският бръснар“ от Анатолий Луначарски, чорбаджи Петко в „Първите“ от П. Ю. Тодоров.
А Дон Кихот от мюзикъла „Човекът от ла Манча“ остава едно от върховните постижения в неговата кариера. Сам определя себе си като Дон Кихот от Красно село. Даже кръщава така и автобиографичната си книга издадена през 2001 г., а през 2007 г. излиза книгата изповед „Моите жени, моите роли“.

„Този велик идалго  ми е любим от малък. Намирал съм много сходни неща между себе си и него. И много пъти съм си задавал въпроса дали Дон Кихот е луд, или останалите. Може би той е най-нормалният“, признава Цонев.

 Незабравими са героите му във филмите „Баща ми бояджията“ (първият български филм мюзикъл), „Сватбите на Йоан Асен“, „Няма нищо по-хубаво от лошото време“, „Господин Никой“, „Тайфуни с нежни имена“, „Голямата скука“, „Бъди щастлива, Ани“, „Басейнът“, „Спасението“, „Жребият“, „Голямата победа“, „История с куче без куче“, „Дом за нашите деца“ и др.
Паметно е превъплъщението му в „Сватбите на Йоан Асен“ в партньорство с Апостол Карамитев. Тук Коста Цонев изпълнява ролята на царския брат Александър, но се налага да довърши и ролята на починалия по време на снимките Карамитев – Йоан Асен.

 За 52 сезона актьорът е претворил над 150 театрални роли, а тези в киното са над 100, многобройни са изявите му в телевизията и в някогашната естрада.Той никога не се затваря в оковите на определен сценичен жанр – допадат му и трагичните, и комедийните образи, обича да пее и да танцува, дори да конферира и сам се нарича „всеядно животно“.

Даже преминаването от един в друг жанр за него е почивка и зареждане с нови творчески сили. Разбира се, много важно е партньорството както с колегите от сцената, така и с публиката – „ако тя не преживява, ако не помага с диханието си, тогава за какъв театър говорим?“

С убеждението, че може да е полезен за българската култура и от парламентарната зала, през 2001 г. Коста Цонев започва политическа кариера, когато Симеон Сакскобурготски го включва в листата на НДСВ за парламентарните избори и е избран за депутат в 39-ото, а през 2005 г. в 40-ото народно събрание.

Животът на Коста Цонев не е поредица от безметежни дни и щастливи случайности. Остава рано без баща – бит, мачкан като човек, започва сам да се прехранва, копае канали по улиците, бил е хамалин, ратай, месил е хляб.
По време на бомбардировките от Втората световна война 30-сантиметров шрапнел едва не го убива – забива се на мястото, откъдето бъдещият актьор току-що е станал.
Катастрофира няколко пъти – при единия от тях колата му се преобръща четири пъти, преди да се приземи на колела.
200-килограмова метална релса пада до него на сцената, изпива чаша веро вместо чай, имитиращ уиски…

На въпрос за последната роля Коста Цонев отговаря: „Няма да има последна роля! Живял съм като щур каскадьор, който предизвиква смъртта. Шофирам като луд. Премятал съм се през балкон 30 метра над земята. Преплувал съм Марица в кучи студ. За кеф. На Айфеловата кула си казах: „Ако скоча, какво ще стане, а? Кой съм аз бе!? Защо  съм роден?“ Такива щуротии ми се въртят из главата… Понякога мисля, че всичко е измислица. Надничам зад уличните ъгли, за да видя дали животът продължава. Отсичам: „Стоп! Това вече съм го играл! Къде? Кога? Защо? А! О!“ – сепвам се. С нетърпение очаквам моето приключение отвъд.“
За Коста Цонев приключението в отвъдното започна на 25 януари 2012 г., но паметта за него ще продължи да живее в многобройните образи от киното и театъра, с които той ни докосна и остави незаличима диря в емоционалния ни свят.